\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 15 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
计算\[ I= \int_0^1 \ln \Gamma(x) dx. \]
\(\mathcal{S}olution. \)
$$ \begin{aligned} 2 \int_0^1 \ln \Gamma(x) {d} x &=\int_0^1 \ln \Gamma(x) {d} x+\int_0^1 \ln \Gamma(1-x) {d} x \\ &=\int_0^1 \ln \Gamma(x) \Gamma(1-x) {d} x \\ &=\int_0^1 \ln \frac{\pi}{\sin \pi x} d x \\ &=\ln \pi-\int_0^1 \ln \sin \pi x {~d} x \\ &=\ln 2 \pi \end{aligned} $$ 我们有 $$ I=\ln \sqrt{2 \pi}. $$